Question

6．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=1，cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0．
（1）求角C的大�。�
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)化為A的三角函數(shù)，利用兩角和的正弦函數(shù)求解結(jié)合正弦定理求出表達式，求出結(jié)合即可．
（2）由余弦定理以及基本不等式可求ab的最大值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）∵cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0，
∴可得：cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，
即：sinA-acosC=0，
∵由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{asinC}{c}$-acosC=0，又c=1，
∴asinC-acosC=0，
∴sinC-cosC=0，可得$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）=0，C是三角形內(nèi)角，
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）∵由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
得1=a²+b²-$\sqrt{2}$ab≥2ab-$\sqrt{2}$ab，解得：ab≤$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$（當且僅當a=b時等號成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$，即△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．