Question

已知橢圓過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意可知， ，   而，    且.       解得，

所以，橢圓的方程為.                                         

  

（2）由題可得.設，                                

直線的方程為，                                       

令，則，即；                  

直線的方程為，                                         

令，則，即；                  

證法一：設點在以線段為直徑的圓上，則，            

即，                                 

，

而，即，

，或.                             

所以以線段為直徑的圓必過軸上的定點或.          

證法二：以線段為直徑的圓為

                          

令，得，                         

∴，而，即，

∴，或.                               

所以以線段為直徑的圓必過軸上的定點或.           

解法3：令，則，令，得            

同理，.                                                     

∴以為直徑的圓為                                    

當時，或.

∴圓過 ks5*u                                             

令，    直線的方程為，                                         

令，則，即；                   

直線的方程為， ks5*u

令，則，即；                  

∵    ∴在以為直徑的圓上.

同理，可知也在為直徑的圓上.   ∴定點為  

【解析】略