Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點M到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若P是軌跡C上的動點．P點在y軸上的射影是點N，點A（3，4），當(dāng)x≥0時，求|PA|+|PN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)動點M到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，建立方程，化簡可得點M的軌跡C的方程；
（2）先根據(jù)拋物線方程求得焦點和準(zhǔn)線方程，可把問題轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線與P到A點距離之和最小，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點的距離，進(jìn)而推斷出P、A、F三點共線時|PF|+|PA|距離之和最小，利用兩點間距離公式求得|FA|，則|PA|+|PN|的最小值可求．

解答 解：（1）設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），
由題意，∵動點M到點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x|+1；
化簡得y²=4x（x≥0）或y=0（x≤0），
∴點M的軌跡C的方程為$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x（x≥0）}\\{y=0（x＜0）}\end{array}\right.$；
（2）依題意可知，拋物線焦點為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1
只需直接考慮P到準(zhǔn)線與P到A點距離之和最小即可，
由于在拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點的距離，
此時問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為|PF|+|PA|距離之和最小即可（F為曲線焦點），
顯然當(dāng)P、A、F三點共線時|PF|+|PA|距離之和最小，為|FA|，
由兩點間距離公式得|FA|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
那么|PA|+|PN|的最小值為2$\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和分析推理能力，是中檔題．