Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3S_n=4a_n-4（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$，求使T_n＞$\frac{λ}{n+2}$對(duì)任意n∈N⁺恒成立的實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用a_n與S_n的關(guān)系式：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$，將n換為n-1，兩式相減，得到a_n與a_n-1的關(guān)系式，根據(jù)等比數(shù)列的定義即得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡(jiǎn)c_n，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出Tn，然后運(yùn)用參數(shù)分離法，得到λ＜（n+2）（1-$\frac{1}{n+1}$），判斷出右邊數(shù)列的單調(diào)性，求出最小值，只需λ小于最小值即可．

解答 解：（I）令n=1，由S₁=a₁，3S₁=4a₁-4可得a₁=4，
∵3S_n=4a_n-4，∴當(dāng)n＞1時(shí)，3S_n-3S_n-1=（4a_n-4）-（4a_n-1-4），
∴3a_n=4a_n-4a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，
∴an=4n=22n；
（Ⅱ）c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=2+4+…+2（n-1）+2n=n（n+1），
$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
由T_n＞$\frac{λ}{n+2}$對(duì)任意n∈N⁺恒成立，
即實(shí)數(shù)λ＜（n+2）（1-$\frac{1}{n+1}$）恒成立；
設(shè)d_n=（n+2）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+1-$\frac{1}{n+1}$在n≥1遞增，
即有n=1時(shí)，取得最小值，且為2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即有λ＜$\frac{3}{2}$．
則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的a_n與S_n的關(guān)系式及應(yīng)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消法，同時(shí)常用的分離參數(shù)法，通過(guò)構(gòu)造數(shù)列d_n，判斷它的單調(diào)性，求出最值，從而解決問(wèn)題，這一思想應(yīng)認(rèn)真掌握．