Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）在區(qū)間[${\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{8}}$]上是減函數(shù)； 
②直線x=$\frac{π}{8}$是f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$而得到；
④函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心是（$\frac{3}{8}π$，0）．
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的單調性、圖象的對稱性，以及y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）：
當x∈[${\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{8}}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$]，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[${\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{8}}$]上是減函數(shù)，
故①正確．
令x=$\frac{π}{8}$，求得f（x）=$\sqrt{2}$，為函數(shù)的最大值，故直線x=$\frac{π}{8}$是f（x）的圖象的一條對稱軸；
故②正確．
把函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$，得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin2（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x的圖象，
故③錯誤．
x=$\frac{3π}{8}$，求得f（x）=0，故函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心是（$\frac{3}{8}π$，0），
故④正確，
故選：C．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調性、圖象的對稱性，以及y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．