Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，點(diǎn)$（1，\;\frac{3}{2}）$在C上．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在x軸上的射影為M，線段AM的中點(diǎn)為N，直線BN交C于點(diǎn)P，證明：直線AB的斜率與直線AP的斜率乘積為定值．

Answer 1

分析 （I）求出C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），推出a，b，即可求解橢圓方程．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），P（x₂，y₂）（x₁≠x₂），則$B（{-{x_1}，-{y_1}}），\;N（{x_1}，\frac{y_1}{2}）$，利用平方差法求解${k_{BN}}=\frac{{\frac{3}{2}{y_1}}}{{2{x_1}}}=\frac{3}{4}•\frac{y_1}{x_1}$，${k_{BP}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$．利用B，N，P三點(diǎn)共線，所以k_BN=k_BP，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（I）由題意知，C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），…（1分）
$2a=\sqrt{{2^2}+{{（\frac{3}{2}）}^2}}+\sqrt{0+{{（\frac{3}{2}）}^2}}=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$，$b=\sqrt{3}$．…（3分）
所以，橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（II）設(shè)A（x₁，y₁），P（x₂，y₂）（x₁≠x₂），則$B（{-{x_1}，-{y_1}}），\;N（{x_1}，\frac{y_1}{2}）$
由點(diǎn)A，P在橢圓C上得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ \frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\end{array}\right.$，兩式相減得，$\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{3}{4}$．…（7分）
${k_{BN}}=\frac{{\frac{3}{2}{y_1}}}{{2{x_1}}}=\frac{3}{4}•\frac{y_1}{x_1}$，${k_{BP}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$．
因?yàn)锽，N，P三點(diǎn)共線，所以k_BN=k_BP，即$\frac{y_1}{x_1}=\frac{4}{3}•\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$．…（9分）
∴${k_{AB}}•{K_{AP}}=\frac{y_1}{x_1}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{3}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{4}{3}•\frac{y_1^2-y_1^2}{x_1^2-x_1^2}=-1$，為定值．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的與，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．