Question

11．設數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n
（Ⅱ）若數列{b_n}是等差數列，b₁=a₁，b₃=S₂，求數列{b_n}的前20項和T₂₀．

Answer 1

分析 （I）由數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），可得數列{a_n}是等比數列，首項為1，公比為2．利用等比數列的通項公式及其前n項和公式即可得出．
（II）b₁=a₁=1，b₃=S₂=3．設等差數列{b_n}的公差為d，則3=1+2d，解得d，可得b_n．利用等差數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）∵數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴數列{a_n}是等比數列，首項為1，公比為2．
∴a_n=2^n-1，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
（II）b₁=a₁=1，b₃=S₂=2²-1=3．
設等差數列{b_n}的公差為d，
則3=1+2d，解得d=1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
∴數列{b_n}的前20項和T₂₀=$\frac{20×（20+1）}{2}$=210．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．