Question

5．若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=3$\sqrt{2}$，AB=1，$AC=\sqrt{2}$，∠BAC=45°，則球O的表面積為20π．

Answer 1

分析 由三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，AB=1，$AC=\sqrt{2}$，∠BAC=45°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圓O′的半徑，利用SA⊥平面ABC，SA=3$\sqrt{2}$，此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積．

解答 解：如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，
∵AB=1，$AC=\sqrt{2}$，∠BAC=45°
∴BC=$\sqrt{1+2-2×1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=1，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=$\frac{1}{2}•\frac{1}{sin45°}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)OO′=d，球O的半徑R，則
∵SA⊥平面ABC，SA=3$\sqrt{2}$，
∴R²=$\frac{1}{2}$+d²=$\frac{1}{2}$+（3$\sqrt{2}$-d）²，
∴球O的半徑R=$\sqrt{5}$，
∴球O的表面積S=4πR²=20π．
故答案為：20π．

點評 本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題的關(guān)鍵．