Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）已知，當，試比較與的大小，并給予證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3），證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)極值點定義可構造方程求得，根據(jù)導數(shù)幾何意義可求得結果；

（2）分別在和兩種情況下，根據(jù)導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）令，可求得；令，利用導數(shù)和零點存在定理可確定，即的正負，從而得到的單調(diào)性和最值，通過最值可知，進而得到大小關系.

（1）由題意得：，

是的極值點，，解得：

，又，

所求切線方程為，即.

（2）由題意得：定義域為，，

當時，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當時，令，解得：，

當時，；當時，；

的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（3）令，

則，

令，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，，存在唯一零點，使得

當時，；當時，；

當時，；當時，；

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

又，即，，，

在上恒成立.