Question

5．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）和圓M：（x-4）²+y²=1，且圓M上的點到拋物線的準線的距離的最大值為$\frac{21}{4}$．
（Ⅰ）求拋物線的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設D，E是拋物線C上異于坐標原點O，且位于x軸兩側的兩點，若$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=12，求證：直線DE經(jīng)過圓心M；
（Ⅲ）過拋物線上的一點P作圓M的兩條切線，它們分別交拋物線于另外兩點A，B，若|PA|=|PB|，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的準線，由題意可得4+$\frac{p}{2}$+1=$\frac{21}{4}$，解得p，進而得到拋物線的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設出D，E的坐標，由向量的數(shù)量積的坐標表示，可得y₁y₂=-4，再由三點共線的條件：斜率相等，計算即可得證；
（Ⅲ）由切線長相等和對稱性，可得P與O重合，設出切線的方程，運用點到直線的距離公式，計算即可得到切線方程，代入拋物線的方程，求得交點，即可得到所求直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線的方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得4+$\frac{p}{2}$+1=$\frac{21}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
即有拋物線的方程為y²=x，焦點為（$\frac{1}{4}$，0）；
（Ⅱ）證明：設D（y₁²，y₁），E（y₂²，y₂），y₁y₂＜0，
由$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=12，可得y₁²•y₂²+y₁y₂-12=0，解得y₁y₂=-4，
由M（4，0），可得直線MD的斜率為k₁=$\frac{{y}_{1}-0}{{{y}_{1}}^{2}-4}$，
直線ME的斜率為k₂=$\frac{{y}_{2}-0}{{{y}_{2}}^{2}-4}$，k₁-k₂=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}{y}_{2}+4）}{（{{y}_{1}}^{2}-4）（{{y}_{2}}^{2}-4）}$=0，
則有k₁=k₂，直線DE經(jīng)過點M；
（Ⅲ）由圓的對稱性和圓外一點作切線，切線長相等，
以及拋物線關于x軸對稱，又|PA|=|PB|，
可得P與O重合，
設切線的方程為y=kx，由直線和圓相切，可得
$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{15}}{15}x}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，解得交點為（15，$\sqrt{15}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{15}}{15}x}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$可得另一個交點為（15，-$\sqrt{15}$）．
則所求直線的方程為x=15．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積的坐標表示和直線的斜率公式的運用，直線和圓相切的條件，以及拋物線的對稱性，考查運算能力，屬于中檔題．