已知動點M（x，y）在曲線C上，點M與定點F（1，0）的距離和它到直線m：x=4的距離的比是
1
2
．
（1）求曲線C的方程；
（2）點E（-1，0），∠EMF的外角平分線所在直線為l，直線EN垂直于直線l，且交FM的延長線于點N．試求點P（1，8）與點N連線的斜率k的取值范圍．
（1）設(shè)點M到直線m：x=4的距離為d，
根據(jù)題意，可得
|MF|
d
=
1
2
，
即
(x-1)2+y2
|x-4|
=
1
2
，化簡得
x2
4
+
y2
3
=1．
∴曲線C的方程是
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）由（1）得曲線C是E（-1，0）、F（1、0）為焦點的雙曲線，2a=4．
根據(jù)題意，可知|ME|=|MN|，
∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4
∴點N的軌跡是以F（1，0）為圓心，4為半徑的圓．
又∵直線PN的方程為：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．
∴圓心F到直線PN的距離d小于等于半徑，可得
|k+8-k|
k2+1
≤4，
解之得k≤-
3
或k≥
3
，可得斜率k的取值范圍是（-∞，-
3
]∪[
3
，+∞）．
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1
2
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x-y-3
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（2）若過點M（4，0）的直線l與曲線C分別相交于A，B兩點，若2
AM
=
MB
，求直線l的方程．

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