Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=4，a₄+a₅=24．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=

an

n•(n+1)•2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意列出方程組求得首項(xiàng)和公比，即可寫出通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）bn=

an

n•(n+1)•2n

= 

1

2n•(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
則由a₃=4，a₄+a₅=24得

a1•q2=4 a1•q3+a1•q4=24

，
由于a_n＞0，q＞0解得

a1=1 q=2

，
所以a_n=a1•qn-1=2n-1．
（Ⅱ）由a_n=a1•qn-1=2n-1．得bn=

an

n•(n+1)•2n

= 

1

2n•(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Sn=

1

2

[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

∴Sn=

n

2(n+1)

．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和知識，屬于中檔題、常規(guī)題，應(yīng)熟練掌握．