已知橢圓的兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，A為橢圓的右頂點，直線、分別交直線于點、，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.
(1)；（2）為定值.

試題分析：(1)由橢圓兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點可得，從而得到橢圓方程.（2）通過題目條件，將直線方程設出來，再將它與橢圓交點坐標設出來，即點，點，再分別表示出直線、的方程，令，得到點,，的坐標，再利用中點坐標公式得到線段的中點為的坐標，利用斜率公式即得到，通過聯(lián)立直線與橢圓方程，用韋達定理替換，，化簡之后即可證明為定值.本題利用“設而不求”達到證明的目的，充分利用韋達定理消去繁雜的未知數(shù).這是解決帶有直線與圓錐曲線交點問題的常用的手段.
試題解析：(1)由條件知，    2分
故所求橢圓方程為.    4分

（2）設過點的直線方程為：，設點，點，
將直線方程代入橢圓：，
整理得：，    6分
因為點在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，且
    8分
直線的方程為：，直線的方程為：，令，
得點，，所以點的坐標.    9分
直線的斜率為.
.    11分
將代入上式得：
.
所以為定值.    14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦瞇分別為F1，F(xiàn)2，且｜F1F2｜＝2，點P（1，）在橢圓C上.
（I）求橢圓C的方程；
（II）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且的面積為，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓長軸的左右端點分別為A，B，短軸的上端點為M，O為橢圓的中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且·＝1，｜｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使得點F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標系中,點到兩點的距離之和等于4,設點的軌跡為,直線與交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2)若點在第一象限,證明當時,恒有.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓（）右頂點到右焦點的距離為，短軸長為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若線段的長為，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x2＋＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知圓C:(x+1)2+y2=16及點A（1，0），Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M則點M的軌跡方程為                               .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，等腰梯形中，且，. 以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為；以，為焦點，且過點的橢圓的離心率為，則的取值范圍為（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓，是長軸的左、右端點，動點滿足，聯(lián)結，交橢圓于點．

（1）當，時，設，求的值；
（2）若為常數(shù)，探究滿足的條件？并說明理由；
（3）直接寫出為常數(shù)的一個不同于（2）結論類型的幾何條件．

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