已知橢圓長軸的左右端點分別為A，B，短軸的上端點為M，O為橢圓的中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且·＝1，｜｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使得點F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）滿足題意的直線存在，方程為：.

試題分析：（Ⅰ）求橢圓的標準方程,可采用待定系數(shù)法求方程, 設橢圓方程為，利用條件求的值,從而得方程,因為｜｜＝1,即,再由·＝1,寫出,的坐標,從而求出的值,可得方程;（Ⅱ）此題屬于探索性命題,解此類問題，一般都假設成立，作為條件，能求出值，則成立，若求不出值，或得到矛盾的結(jié)論，則不存在，此題假設存在直線符合題意，設出直線方程，根據(jù)直線與二次曲線位置關系的解題方法，采用設而不求的解題思維，設的坐標，根據(jù)根與系數(shù)關系，來求出直線方程，值得注意的是，當方程不恒有交點時，需用判別式討論參數(shù)的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）設橢圓方程為，，所以，又因為，所以，則橢圓方程為；
（Ⅱ）假設存在直線符合題意。由題意可設直線方程為：，代入得：，，設，則，，   解得：或 ， 當時，三點共線，所以，所以，所以滿足題意的直線存在，方程為：.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，動點到兩點，的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線C，直線過點且與曲線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：，
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍；
（3）過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點，設原點到四邊形的一邊距離為，試求時滿足的條件.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，上頂點為B，離心率為，圓與軸交于兩點
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，過點與圓相切的直線與的另一交點為，求的面積

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，A為橢圓的右頂點，直線、分別交直線于點、，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的長軸兩端點分別為，是橢圓上的動點，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點，交于點．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點時，的面積為12，點到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知定圓的圓心為，動圓過點，且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點為曲線上一點，試探究直線：與曲線是否存在交點? 若存在，求出交點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為(　　)
A．6B．5C．4D．3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若△ABC頂點B,C的坐標分別為(－4,0),(4,0)，AC,AB邊上的中線長之和為30，則△ABC的重心G的軌跡方程為（     ）
A．B．
C．D．

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