Question

1．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率為雙曲線(xiàn)y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1離心率的一半，直線(xiàn)y=x被橢圓E截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．直線(xiàn)l：y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E交于A，B兩個(gè)相異點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線(xiàn)的離心率求得橢圓的離心率，求得a=2b，將y=x代入橢圓方程，由2×$\sqrt{2}$×$\frac{a\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，O，P重合，λ=1顯然成立，當(dāng)m≠0時(shí)求得λ=3，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得k²=$\frac{{m}^{2}-4}{1-{m}^{2}}$，m²≠1，由△＞0，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1離心率e=$\sqrt{3}$，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2b，
將y=x代入橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，解得：x=±$\frac{a\sqrt{5}}{5}$，
∴2×$\sqrt{2}$×$\frac{a\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，解得：a=2，
∴橢圓E的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$成立，
由題意可得P（0，m），
當(dāng)m=0時(shí)，O，P重合，λ=1顯然成立，
當(dāng)m≠0時(shí)，由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，可得$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$），則$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=（1+λ）$\overrightarrow{OP}$，
∴λ=3，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，可得x₁=-3x₂  ①
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，②
由①②可得：m²k²+m²-k²-4=0，則k²=$\frac{{m}^{2}-4}{1-{m}^{2}}$，m²≠1，
由△=（2km）²-4（k²+4）（m²-4）＞0，則k²+4-m²＞0，
∴k²+4-m²=$\frac{{m}^{2}-4}{1-{m}^{2}}$+4-m²=$\frac{（{m}^{2}-4）{m}^{2}}{1-{m}^{2}}$＞0，則1＜m²＜4，
解得：-2＜m＜-1或1＜m＜2，
綜上可得：m的取值范圍是（-2，-1）∪（1，2）∪{0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．