Question

11．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線與拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$只有一個公共點，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 5
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由雙曲線方程求得雙曲線的一條漸近線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，進而根據(jù)判別式等于0求得b=a，進而根據(jù)c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，求得e=$\frac{c}{a}$即離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，消去y，
$\frac{1}{2}$x²-$\frac{a}$x+$\frac{1}{2}$=0有唯一解，
所以△=（$\frac{a}$）²-4×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=0，
所以b=a，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．離心率問題是圓錐曲線中常考的題目，解決本題的關(guān)鍵是找到a和b或a和c或b和c的關(guān)系．