【題目】給定方程: ,則下列命題中:
①該方程沒(méi)有小于0的實(shí)數(shù)解;
②該方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解;
③該方程在(-∞,0)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解;
④若x0是該方程的實(shí)數(shù)解,則x0>-1.
正確的命題是________.
【答案】②③④
【解析】試題分析:根據(jù)正弦函數(shù)的符號(hào)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解,故①不正確;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與正弦函數(shù)的有界性,可得方程有無(wú)數(shù)個(gè)正數(shù)解,故②正確;根據(jù)y=()x﹣1的單調(diào)性與正弦函數(shù)的有界性,
分析可得當(dāng)x≤﹣1時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解,當(dāng)﹣1<x<0時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解,由此可得③④都正確.
解:對(duì)于①,若α是方程()x+sinx﹣1=0的一個(gè)解,
則滿足()α=1﹣sinα,當(dāng)α為第三、四象限角時(shí)()α>1,
此時(shí)α<0,因此該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解,得①不正確;
對(duì)于②,原方程等價(jià)于()x﹣1=﹣sinx,
當(dāng)x≥0時(shí),﹣1<()x﹣1≤0,而函數(shù)y=﹣sinx的最小值為﹣1
且用無(wú)窮多個(gè)x滿足﹣sinx=﹣1,
因此函數(shù)y=()x﹣1與y=﹣sinx的圖象在[0,+∞)上有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)
因此方程()x+sinx﹣1=0有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解,故②正確;
對(duì)于③,當(dāng)x<0時(shí),
由于x≤﹣1時(shí)()x﹣1≥1,函數(shù)y=()x﹣1與y=﹣sinx的圖象不可能有交點(diǎn)
當(dāng)﹣1<x<0時(shí),存在唯一的x滿足()x=1﹣sinx,
因此該方程在(﹣∞,0)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,得③正確;
對(duì)于④,由上面的分析知,
當(dāng)x≤﹣1時(shí)()x﹣1≥1,而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解
∴函數(shù)y=()x﹣1與y=﹣sinx的圖象在(﹣∞,﹣1]上不可能有交點(diǎn)
因此只要x0是該方程的實(shí)數(shù)解,則x0>﹣1.
故答案為:②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校學(xué)生社團(tuán)為了解“大數(shù)據(jù)時(shí)代”下大學(xué)生就業(yè)情況的滿意度,對(duì)20名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷計(jì)分調(diào)查(滿分100分),得到如圖所示的莖葉圖:
(1)計(jì)算男生打分的平均分,觀察莖葉圖,評(píng)價(jià)男女生打分的分散程度;
(2)從打分在80分以上的同學(xué)隨機(jī)抽3人,求被抽到的女生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知p:直線y=(2m+1)x+m﹣2的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限,q:方程x2+ =1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,若(¬p)∨q為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在某商業(yè)區(qū)周邊有 兩條公路和,在點(diǎn)處交匯,該商業(yè)區(qū)為圓心角,半徑3的扇形,現(xiàn)規(guī)劃在該商業(yè)區(qū)外修建一條公路,與,分別交于,要求與扇形弧相切,切點(diǎn)不在,上.
(1)設(shè)試用表示新建公路的長(zhǎng)度,求出滿足的關(guān)系式,并寫出的范圍;
(2)設(shè),試用表示新建公路的長(zhǎng)度,并且確定的位置,使得新建公路的長(zhǎng)度最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,圓的圓心在橢圓上,點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,且交橢圓于兩點(diǎn), 直線交圓于兩點(diǎn), 且為的中點(diǎn), 求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直線坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)直線的普通方程和曲線的參數(shù)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在上, 在處的切線與直線垂直,求的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= + 的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1 , x2 , 且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);點(diǎn)P(m,n)表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若函數(shù)y=loga(x+4)(a>1)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1,3]
B.(1,3)
C.(3,+∞)
D.[3,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)的圖象與g(x)=logax(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,且g(x)的圖象過(guò)(4,2)點(diǎn).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x﹣1)>f(5﹣x),求x的取值范圍.
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