Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點在圓x²+y²=1上，短軸長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為k的直線經(jīng)過點M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點，求出k為何值時，OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由題意可得焦點為（±1，0），短軸長為2，可得b=c=1，求得a，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡計算即可得到所求k的值．

解答 解：（1）依題意橢圓的兩個焦點在圓x²+y²=1上，短軸長為2，
可得b=1，c=1，可得a²=b²+c²=2，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為：y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
所以x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
因為OA⊥OB，所以$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
而y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2），所以x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）=0，
即（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，
所以$\frac{（1+{k}^{2}）（8{k}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{16{k}^{4}}{1+2{k}^{2}}$+4k²=0，
解得：k²=$\frac{1}{5}$，
此時△＞0，所以k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，OA⊥OB．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．