Question

1．已知拋物線C：x²=4y，點(diǎn)M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（0，2），以M點(diǎn)為圓心，MN為半徑的圓交x軸于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)M是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求拋物線C的準(zhǔn)線被圓M截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)．
（i）|AB|是否為定值？證明你的結(jié)論；
（ii）若$\frac{|AN|}{|BN|}=t$，求t$+\frac{1}{t}$的最大值，并求出此時(shí)圓M的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓M的方程，求得拋物線的準(zhǔn)線方程，代入圓的方程，即可得到弦長(zhǎng)；
（Ⅱ）（i）設(shè)M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），求得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，令y=0，即可得到弦長(zhǎng)AB為定值；
（ii）可設(shè)A（m-2，0），B（m+2，0），可得t²=$\frac{（m-2）^{2}+4}{（m+2）^{2}+4}$=1-$\frac{8}{m+\frac{8}{m}+4}$，運(yùn)用基本不等式和不等式的性質(zhì)，可得t的范圍，判斷t$+\frac{1}{t}$在[$\sqrt{2}$-1，1]遞減，即可得到最大值，及此時(shí)圓M的方程．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)M是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓的方程為x²+y²=4，
拋物線C：x²=4y的準(zhǔn)線的方程為y=-1，
令y=-1，可得x²=4-1=3，即有x=±$\sqrt{3}$，
可得拋物線C的準(zhǔn)線被圓M截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）（i）設(shè)M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），
可得圓M的方程為（x-m）²+（y-$\frac{{m}^{2}}{4}$）²=m²+（$\frac{{m}^{2}}{4}$-2）²，
令y=0，可得（x-m）²+（$\frac{{m}^{2}}{4}$）²=m²+（$\frac{{m}^{2}}{4}$-2）²，
化簡(jiǎn)可得x=m-2，或x=m+2．
即有弦長(zhǎng)AB=4，為定值；
（ii）可設(shè)A（m-2，0），B（m+2，0），
可得t²=$\frac{（m-2）^{2}+4}{（m+2）^{2}+4}$=1-$\frac{8}{m+\frac{8}{m}+4}$，
可設(shè)m≥0，由m+$\frac{8}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{8}{m}}$=4$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=2$\sqrt{2}$時(shí)，取得等號(hào)，
可得$\sqrt{2}$-1≤t≤1，
即有t$+\frac{1}{t}$在[$\sqrt{2}$-1，1]遞減，可得t=$\sqrt{2}$-1時(shí)，取得最大值，且為2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=2$\sqrt{2}$時(shí)，取得最大值，
即有圓M的方程為（x-2$\sqrt{2}$）²+（y-2）²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，以及弦長(zhǎng)的求法，同時(shí)考查對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．