已知圓的圓心在坐標原點O，且恰好與直線相切.

(1)求圓的標準方程；

(2)設點A為圓上一動點，AN軸于N，若動點Q滿足（其中m為非零常數(shù)），試求動點的軌跡方程.

(3)在（2）的結論下，當時，得到動點Q的軌跡曲線C，與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點，求面積的最大值.

 

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)求圓的方程，已經已知圓心坐標，只要再求得圓的半徑即可，而圓心的半徑等于圓心到切線的距離；（2）本題動點可以看作是由動點的運動成生成的，因此可以用動點轉移法求點的軌跡方程，具體方法就是設，，利用條件，求出與的關系，并且用來表示，然后把代入（1）中圓的方程，就能求得動點為的軌跡方程；（3）時，曲線的方程為，直線與垂直，其方程可設為，這條直線與曲線相交，由此可求得的取值范圍，而的面積應該表示為的函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識或不等式的知識求得最值.

試題解析：(1)設圓的半徑為,圓心到直線距離為，則

所以，圓的方程為

（2）設動點,,軸于,

由題意,，所以 即: ，

將代入,得動點的軌跡方程.

（3）時,曲線方程為，設直線的方程為

設直線與橢圓交點

聯(lián)立方程得

因為，解得，且

又因為點到直線的距離 

 .（當且僅當即

時取到最大值）面積的最大值為.

考點：（1）圓的方程；（2）動點轉移法求軌跡方程；（3）直線與橢圓相交，面積的最值問題.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點，設直線l與拋物線交于A、B兩點，與拋物線的準線交于M點，
MF
=λ
FB
（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線l斜率
（2）若點A、B在x軸上的射影分別為A1，B1且|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差數(shù)列求λ的值
（3）設已知拋物線為C1：y2=x，將其繞頂點按逆時針方向旋轉90°變成C1′．圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點N．已知點P是拋物線C1′上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C′1于T，S，兩點，若過N，P兩點的直線l垂直于TS，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2
2
，離心率e=
2
2
，過右焦點F的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年四川省成都七中高二（下）3月月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點，設直線l與拋物線交于A、B兩點，與拋物線的準線交于M點，=λ（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線l斜率
（2）若點A、B在x軸上的射影分別為A1，B1且||，||，2||成等差數(shù)列求λ的值
（3）設已知拋物線為C1：y2=x，將其繞頂點按逆時針方向旋轉90°變成C1′．圓C2：x2+（y-4）=1的圓心為點N．已知點P是拋物線C1′上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C′1于T，S，兩點，若過N，P兩點的直線l垂直于TS，求直線l的方程．

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