Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|

1

2

x+1|+|x|（x∈R）的最小值為a．
（I）求a；
（Ⅱ）已知兩個正數(shù)m，n滿足m²+n²=a，求

1

m

+

1

n

的最小值．

Answer 1

考點：絕對值三角不等式,基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（I）化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的最小值為a，求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m²+n²=1，利用基本不等式求得

1

mn

≥2，再利用基本不等式求得

1

m

+

1

n

的最小值．

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=|

1

2

x+1|+|x|=

- 3 2 x-1，x＜-2 - 1 2 x+1，-2≤x≤0 3 2 x+1，x＞0

，
當x∈（-∞，0]時，f（x）單調(diào)遞減；當x∈[0，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增，
所以當x=0時，f（x）的最小值a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m²+n²=1，由m²+n²≥2mn，得mn≤

1

2

，∴

1

mn

≥2
故有

1

m

+

1

n

≥2

1 mn

≥2

2

，當且僅當m=n=

2

2

時取等號．
所以

1

m

+

1

n

的最小值為2

2

．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，基本不等式的應用，屬于中檔題．