Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

的圖象上的任意兩點．M為AB的中點，M的橫坐標為

1

2

．
（1）求M的縱坐標．
（2）設(shè)Sn=f(

1

n+1

)+f(

2

n+1

)+…+f(

n

n+1

)，其中n∈N^*，求S_n．
（3）對于（2）中的S_n，已知an=(

1

Sn+1

)2，其中n∈N*，設(shè)T_n為數(shù)列{a_n}的前n項的和，求證

4

9

≤Tn＜

5

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得x₁+x₂=1，由此結(jié)合已知條件能推導出M的縱坐標為

1

2

．
（2）由f（x₁）+f（x₂）=1，利用倒序相加法能求出Sn=

n

2

．
（3）由an=

4

(n+2)2

＜

4

(n+1)(n+3)

=2(

1

n+1

-

1

n+3

)，利用裂項求和法能證明

4

9

≤Tn＜

5

3

．

解答： （1）解：∵M為AB的中點，M的橫坐標為

1

2

，∴x₁+x₂=1，
f(x1)+f(x2)=

1

2

+log2

x1

1-x1

+

1

2

+log2

x2

1-x2

=1+log2

x1x2

(1-x1)(1-x2)

=1+log2

x1x2

x2x1

=1+log21=1，
∴M的縱坐標為

1

2

．
（2）解：由（1）知，當x₁+x₂=1時，
f（x₁）+f（x₂）=1，
Sn=f(

1

n+1

)+f(

2

n+1

)+…+f(

n

n+1

)…①
Sn=f(

n

n+1

)+f(

n-1

n+1

)+…+f(

1

n+1

)…②
兩式子相加得：
2Sn=[f(

1

n+1

)+f(

n

n+1

)]+…+[f(

n

n+1

)+f(

1

n+1

)]=

1+1+…+1

n個

=n
∴Sn=

n

2

．
（3）證明：an=(

1

Sn+1

)2=(

2

n+2

)2=

4

(n+2)2

，
∴（n+2）²=n²+4n+4＞n²+4n+3=（n+1）（n+3），
∴an=

4

(n+2)2

＜

4

(n+1)(n+3)

=2(

1

n+1

-

1

n+3

)，
∴Tn=a1+a2+…+an＜2(

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+3

)
=2(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜2(

1

2

+

1

3

)=

5

3

，
又an=

4

(n+2)2

＞0，
∴Tn≥T1=

4

9

，故

4

9

≤Tn＜

5

3

．

點評：本題考查點的縱坐標的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意倒序相加法和裂項求和法的合理運用．