Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a＞0）．
（1）若f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，證明：（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ＜$\frac{e}{e-1}$（n∈N*）．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)f（x）的最小值，f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0；
（2）證明（1-$\frac{k}{n}$）ⁿ≤（${e}^{-\frac{k}{n}}$）ⁿ=e^-k，即可證明（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ＜$\frac{e}{e-1}$（n∈N*）．

解答 解：（1）f（x）≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
f'（x）=e^x-a，
由f'（x）=e^x-a=0得x=lna，
由f'（x）＞0得，x＞lna，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0得，x＜lna，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即f（x）在x=lna處取得極小值且為最小值，
最小值為f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1，
設(shè)g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1．
∴g（a）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解為a=1，∴a=1．
證明：（2）由（1）知，對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．
令$x=-\frac{k}{n}$（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），則0＜1-$\frac{k}{n}$＜e${\;}^{-\frac{k}{n}}$．
∴（1-$\frac{k}{n}$）ⁿ≤（${e}^{-\frac{k}{n}}$）ⁿ=e^-k．
∴（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ≤e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-2+e^-1+1
=$\frac{{1-{e^{-n}}}}{{1-{e^{-1}}}}＜\frac{1}{{1-{e^{-1}}}}=\frac{e}{e-1}$．
故（$\frac{1}{n}$）ⁿ+（$\frac{2}{n}$）ⁿ+…+（$\frac{n-1}{n}$）ⁿ+（$\frac{n}{n}$）ⁿ＜$\frac{e}{e-1}$（n∈N*）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的之間關(guān)系，以及不等式恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．