Question

21、設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2x²+x+c（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1，且函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，1）時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)確定函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求解極小值．
（2）函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在R上是單調(diào)的，即其導(dǎo)函數(shù)的符合不發(fā)生變化，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定參數(shù)a的取值范圍．

解答：解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=3ax²-4x+1，
（1）函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，1）時(shí)，有f（0）=c=1．
當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=3x²-4x+1，令f'（x）=3x²-4x+1＞0，解得x＜

1

3

或x＞1．由f'（x）=3x²-4x+1＜0得，

1

3

＜x＜1．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，

1

3

]，[1，+∞）上單調(diào)遞增，在[

1

3

，1]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為f（1）=1-2×1+1+1=1．
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上無極值點(diǎn)，則f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，即f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立．
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=-4x+1，顯然不滿足條件．
②當(dāng)a≠0時(shí)，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立的充要條件是△≤0，
即（-4）²-4×3a×1≤0，即16-12a≤0，解得a≥

4

3

．
綜上，a的取值范圍為[

4

3

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，屬于常考題型．