Question

已知數(shù)列{α_n}的前n項(xiàng)和為S_n，α₁=l，S_n=（2ⁿ-1）α_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{α_n}是等比數(shù)列；
（2）記T_n=n×α₁+（n-1）α₂+（n-2）α₃+…+2×α_n-1+1×α_n（n∈N^*），求L；
（3）證明：當(dāng)n≥2（n∈N^*）時，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

Answer 1

（1）證明：∵S_n=（2ⁿ-1）a_n，∴S_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1，
兩式相減可得：a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1-（2ⁿ-1）a_n，
∴a_n+1=a_n，
∵a₁=l，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，a_n=
∵T_n=n×a_l+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2×a_n-1+l×a_n，
∴T_n=n×a₂+（n-1）a₃+（n-2）a₄+…+2×a_n+l×a_n+1，
∴T_n=n×a_l-（a₂+a₃+…+a_n）-a_n=n-1+
∴
（3）證明：①當(dāng)n=2時，左邊=（1+α₁）（1+α₂）=3，右邊=6（1-2α_n+1）=3，左邊=右邊，結(jié)論成立；
②設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時成立，即（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）≤6（1-2α_k+1），
則n=k+1時，左邊=（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）（1+α_k+1）≤6（1-2α_k+1）（1+α_k+1）
下證6（1-2α_k+1）（1+α_k+1）≤6（1-2α_k+2），
即證：-α_k+1-2α_k+1²≤-2α_k+2，
即證：
即證：，顯然成立．
由①②可知，當(dāng)n≥2（n∈N^*）時，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．
分析：（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，化簡可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯位相減法可求數(shù)列的和；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是第二步設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時成立，即（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）≤6（1-2α_k+1），證明n=k+1時，結(jié)論成立，利用分析法進(jìn)行證明．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．