Question

2．已知△ABC的外接圓圓心為O，且∠A=60°，若$\overrightarrow{AO}=α\overrightarrow{AB}+β\overrightarrow{AC}（α，β∈R）$，則α+β的最大值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 延長AO交BC于D，設$\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，（m＞0，n＞0），由平面向量基本定理和向量共線定理可得m+n=α$\frac{|AD|}{|AO|}$+β$\frac{|AD|}{|AO|}$，由B，C，D三點共線，可得α+β=1，進而得到α+β=$\frac{1}{1+\frac{|OD|}{|OA|}}$，求出|OD|的最小值，可過O作OM⊥BC，求得|OM|即可得到所求最大值．

解答 解：延長AO交BC于D，設$\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，（m＞0，n＞0），
又$\overrightarrow{AO}=α\overrightarrow{AB}+β\overrightarrow{AC}（α，β∈R）$，
易得$\frac{m}{α}$=$\frac{n}{β}$=$\frac{|AD|}{|AO|}$即有m=α$\frac{|AD|}{|AO|}$，n=β$\frac{|AD|}{|AO|}$，
則m+n=α$\frac{|AD|}{|AO|}$+β$\frac{|AD|}{|AO|}$，
由B，C，D三點共線，可得m+n=1，
即有α+β=$\frac{|AO|}{|AD|}$=$\frac{|AO|}{|AO|+|OD|}$=$\frac{1}{1+\frac{|OD|}{|OA|}}$，
由于|AO|=r是定值，只需|OD|最小，
過O作OM⊥BC，垂足為M，則OD≥OM，
即有∠BOM=∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴cos∠BAC=$\frac{1}{2}$=$\frac{|OM|}{|OB|}$，則|OM|=$\frac{1}{2}$r．
則α+β≤$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
即有α+β的最大值為$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$

點評 本題考查平面向量的基本定理的運用，主要考查向量共線定理的運用和同角的基本關系式的運用，考查運算能力，屬于難題．