Question

已知數列{a_n}是等差數列，且a₂=7，a₅=16，數列{b_n}是各項為正數的數列，且b₁=2，點（log₂b_n，log₂b_n+1）在直線y=x+1上．
（1）求{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（1）由“數列{a_n}是等差數列，且a₂=7，a₅=16”，建立首項和公差的方程組，再由通項公式求通項；由“數列{b_n}是各項為正數的數列，且b₁=2，點（log₂b_n，log₂b_n+1）在直線y=x+1”求得公比，再由通項公式求通項；（2）由（1）得到數列{c_n}，根據其特點，是一個等差數列與等比數列相應項積的形式，選擇錯位相減法求解．

解答：解：根據題意：

a1+d=7 a1+4d=16

a1=4 d=3

a_n=3n+1
log₂b_n+1=log₂b_n+1
b_n+1=2b_n+1
q=2
b_n=2ⁿ
（2）c_n=（3n+1）2ⁿ
s_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=42¹+72²+…+（3n+1）2ⁿ①
2s_n=42²+72³+…+（3n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得：-s_n=2³+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n+1）2ⁿ⁺¹
∴s_n=32ⁿ⁺¹-4-（3n+1）2ⁿ⁺¹

點評：本題主要考查了等差數列，等比數列的定義及通項公式，還考查了錯位相減法求數列的前n項和，屬常規(guī)題，應熟練掌握．