Question

10．已知中心在坐標原點的橢圓C經過點A（2，3），且點F （2，0）為其右焦點．
（1）求橢圓C的方程和離心率e；
（2）若平行于OA的直線l與橢圓有公共點，求直線l在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意c=2，設橢圓方程，將A代入橢圓方程，即可求得a的值，即可求得橢圓方程及離心率；
（2）設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理△≥0，即可求得b的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓的焦點在x軸上，c=2，設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}=1$，
代入點A（2，3），$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{a}^{2}-4}=1$
解得：a²=16，則b²=12，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，離心率$\frac{1}{2}$；
（2）設直線l的方程y=$\frac{3}{2}$x+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+3bx+b²-12=0，
由△=（3b）²-12（b²-12）≥0，解得：-4$\sqrt{3}$≤b≤4$\sqrt{3}$，
直線l在y軸上的截距的取值范圍[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查判別式法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．