Question

4．（1）已知$g（x）=\sqrt{x}$，求曲線(xiàn)g（x）在點(diǎn)（4，2）處的切線(xiàn)方程；
（2）已知函數(shù)f（x）=x³-3x，過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)，求此切線(xiàn)方程．
（3）求函數(shù)f（x）=x²-x-lnx的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線(xiàn)的斜率，然后求解切線(xiàn)方程．
（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用向量相等列出方程求解即可．
（3）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值點(diǎn)，然后求解極值即可．

解答 解：（1）∵g（x）=$\sqrt{x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴g′（4）=$\frac{1}{4}$，
∴曲線(xiàn)g（x）在點(diǎn)（4，2）處的切線(xiàn)方程為y-2=$\frac{1}{4}$（x-4），即y=$\frac{1}{4}$x+1；
（2）曲線(xiàn)方程為y=x³-3x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線(xiàn)上，
設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足y₀=x₀³-3x₀，
因f′（x₀）=3（x₀²-1），故切線(xiàn)的方程為y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）．
化簡(jiǎn)得x₀³=-8，解得x₀=-2．
所以切點(diǎn)為M（-2，-2），切線(xiàn)方程為9x-y+16=0．
（3）∵f（x）=x²-x-lnx，x＞0，
令f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=0得x=1或x=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
又因?yàn)�，�?dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；x＞1時(shí)，f'（x）＞0．
所以x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值f（1）=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線(xiàn)方程的求法以及函數(shù)的極值的求法，考查計(jì)算能力．