Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=PD，PA⊥AB，點(diǎn)E、F分別是棱AD、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥PD；
（Ⅱ）若AB=AP，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）若△PAD的面積為1，在四棱錐P-ABCD內(nèi)部，放入一個(gè)半徑為R的球O，且球心O在截面PEF中，試探究R的最大值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,球的體積和表面積,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AB⊥平面PAD，可得AB⊥PD；
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面PBD的一個(gè)法向量、平面PAD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）求出△PEF的內(nèi)切圓半徑的最大值，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB⊥AD，AB⊥PA，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD；
（Ⅱ）解：連接PE，EF，則
∵點(diǎn)E、F分別是棱AD、BC的中點(diǎn)，
∴PE⊥AD，EF∥AB，
∵AB⊥平面PAD，
∴EF⊥平面PAD，
∴EF⊥AD，EF⊥PE，
建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則A（1，0，0），D（-1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0）F（0，2，0），P（0，0，

3

），

∴

PB

=（1，2，-

3

），

PC

=（-1，2，-

3

），
平面PAD的一個(gè)法向量為

AB

=（0，2，0），
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則

x+2y- 3 z=0 -x+2y- 3 z=0

，
∴

n

=（0，

3

，2），
∴cos＜

AB

，

n

＞=

3

7

=

21

7

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知截面△PEF為直角三角形，
∴S_△PEF=

1

2

EF•EP=

1

2

AD•EP=S_△PAD=1，
∴EF•EP=2．
設(shè)△PEF的內(nèi)切圓半徑為r，則S_△PEF=

1

2

（PE+EF+FP）=1，
∴r=

2

PE+EF+PF

≤

2

2 EF•EP + 2EF•EP

=

2

-1，
當(dāng)且僅當(dāng)EF=EP時(shí)，△PEF有最大內(nèi)切圓，半徑為

2

-1，此時(shí)EF=EP=

2

，PF=2，
S_△PAB=S_△PCD=

5

2

S_△PBC=

1

2

BC•PF=

2

，S_△PAD=1，S_ABCD=AD•EF=2，
設(shè)△PEF的內(nèi)切圓圓心O到側(cè)面PAB，側(cè)面PCD的距離為d，則
V_P-ABCD=

1

3

r（S_△PAD+S_△PBC+S_ABCD）+

1

3

d•S△PAB+

1

3

d•S△PCD=

1

3

EP•SABCD，
∴（

2

-1）（1+2+

2

）+

5

d=2

2

，
∴d=

1

5

＞

2

-1=r，
∴，在四棱錐P-ABCD內(nèi)部，放入一個(gè)半徑為R的球O，且球心O在截面PEF中，R的最大值為

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．