【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的圖像與x軸相切于M(3,0).
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在兩個(gè)不等正數(shù)s,t(s<t),當(dāng)x∈[s,t]時(shí),函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的值域也是[s,t],若存在,求出所有這樣的正數(shù)s,t,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:f′(x)=3x2+2ax+b,依題意有

,解得

∴f(x)=x3﹣6x2+9x


(2)解:f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),

由f′(x)=0,得x=1或x=3.

當(dāng)x∈(﹣∞,1),(3,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)為增函數(shù),

當(dāng)x∈(1,3)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)為減函數(shù),

∴f(x)=x3﹣6x2+9x的極大值為4,極小值為0.

①若極值點(diǎn)3在[s,t]上,

∵函數(shù)的值域也是[s,t],

∴0∈[s,t],這與s>0矛盾;

②若極值點(diǎn)1在[s,t]上,

∵函數(shù)的值域也是[s,t],

∴4∈[s,t],這與0<s≤1≤t<3矛盾;

③若f(x)=x3﹣6x2+9x在區(qū)間[s,t]上單調(diào)遞增,

即0<s<t<1或3<s<t,則

即s,t是方程x3﹣6x2+9x=x的兩個(gè)不同正根,解得 舍去;

④若f(x)=x3﹣6x2+9x在區(qū)間[s,t]上單調(diào)遞減,

即1≤s<t≤3,則 ,

兩式相減并除以s﹣t得:(s+t)2﹣6(s+t)﹣st+10=0*,

兩式相除并開(kāi)方可得:s(s﹣3)=t(t﹣3),

∴s+t=3.代入*得st=1.

∴s,t為方程x2﹣3x+1=0的兩根,

解得:

綜上,存在 滿足條件


【解析】(1)由已知得f′(x)=3x2+2ax+b.依題意f(3)=0,f′(3)=0,解方程即可求出f(x)=x3﹣6x2+9x; (2)由函數(shù)的定義域是正數(shù)知,s>0,故極值點(diǎn)x=3不在區(qū)間[s,t]上,由此利用分類討論思想能求出不存在正數(shù)s,t滿足要求.

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微信控

非微信控

合計(jì)

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合計(jì)

56

44

100


(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有60%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人贈(zèng)送營(yíng)養(yǎng)面膜各1份,再?gòu)某槿〉倪@5人中再隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送200元的護(hù)膚品套裝,記這3人中“微信控”的人數(shù)為X,試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.321

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