【題目】設函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的圖像與x軸相切于M(3,0).
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在兩個不等正數(shù)s,t(s<t),當x∈[s,t]時,函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的值域也是[s,t],若存在,求出所有這樣的正數(shù)s,t,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:f′(x)=3x2+2ax+b,依題意有 ,
即 ,解得 .
∴f(x)=x3﹣6x2+9x
(2)解:f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),
由f′(x)=0,得x=1或x=3.
當x∈(﹣∞,1),(3,+∞)時,f′(x)>0,函數(shù)為增函數(shù),
當x∈(1,3)時,f′(x)<0,函數(shù)為減函數(shù),
∴f(x)=x3﹣6x2+9x的極大值為4,極小值為0.
①若極值點3在[s,t]上,
∵函數(shù)的值域也是[s,t],
∴0∈[s,t],這與s>0矛盾;
②若極值點1在[s,t]上,
∵函數(shù)的值域也是[s,t],
∴4∈[s,t],這與0<s≤1≤t<3矛盾;
③若f(x)=x3﹣6x2+9x在區(qū)間[s,t]上單調(diào)遞增,
即0<s<t<1或3<s<t,則 ,
即s,t是方程x3﹣6x2+9x=x的兩個不同正根,解得 舍去;
④若f(x)=x3﹣6x2+9x在區(qū)間[s,t]上單調(diào)遞減,
即1≤s<t≤3,則 ,
兩式相減并除以s﹣t得:(s+t)2﹣6(s+t)﹣st+10=0*,
兩式相除并開方可得:s(s﹣3)=t(t﹣3),
∴s+t=3.代入*得st=1.
∴s,t為方程x2﹣3x+1=0的兩根,
解得: .
綜上,存在 滿足條件
【解析】(1)由已知得f′(x)=3x2+2ax+b.依題意f(3)=0,f′(3)=0,解方程即可求出f(x)=x3﹣6x2+9x; (2)由函數(shù)的定義域是正數(shù)知,s>0,故極值點x=3不在區(qū)間[s,t]上,由此利用分類討論思想能求出不存在正數(shù)s,t滿足要求.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點P是拋物線x2=4y上的動點,點P在x軸上的射影是Q,點A(8,7),則|PA|+|PQ|的最小值為( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC三邊長構(gòu)成公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,則△ABC最大內(nèi)角α的取值范圍為( )
A. <α≤
B. <α<π
C. ≤α<π
D. <α≤
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【題目】為了調(diào)查每天微信用戶使用微信的時間,某經(jīng)銷化妝品分微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名,其中每天玩微信超過6小時的用戶列為“微信控”,否則稱其為“非微信控”,調(diào)查結(jié)果如下:
微信控 | 非微信控 | 合計 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計 | 56 | 44 | 100 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有60%的把握認為“微信控”與“性別”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人贈送營養(yǎng)面膜各1份,再從抽取的這5人中再隨機抽取3人贈送200元的護膚品套裝,記這3人中“微信控”的人數(shù)為X,試求X的分布列和數(shù)學期望.
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.840 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD邊長為2,以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點F,連結(jié)CF并延長交AB于點E.
(1)求證:AE=EB;
(2)求EFFC的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)
(1)設函數(shù),且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)設函數(shù),求當時,函數(shù)的值域。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中, , 為的中點, 平面,垂足落在線段上,已知.
(1)證明: ;
(2)在線段上是否存在一點,使得二面角為直二面角?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知命題;命題函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).
(1)若命題為假命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若命題“”為真命題,“”為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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