Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）．
（1）若x∈[2，6]時，f（x）_max=f（2）=2，f（x）_min=f（6）=-2且f（x）在[2，6]上單調(diào)減，求ω，φ的值；
（2）若φ=0，f（x）=0在[-π，π]上恰有19個根，求ω的取值范圍；
（3）若φ=0，f（x）在[

π

6

，

π

4

]上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意求得周期，由周期公式求得ω，把（2，2）代入函數(shù)解析式結(jié)合φ的范圍求φ的值；
（2）φ=0時，f（x）=2sinωx，f（x）為奇函數(shù)，把f（x）=0在[-π，π]上恰有19個根轉(zhuǎn)化為f（x）=0在（0，π]上恰有9個根，得到

9

2

T≤π＜5T，結(jié)合周期公式求得ω的取值范圍；
（3）當(dāng)φ=0時，f（x）在[

π

6

，

π

4

]上單調(diào)遞增，求出ω的初步范圍，結(jié)合-

π

2

+2kπ≤

π

6

ω，

π

4

ω≤

π

2

+2kπ，k∈Z進(jìn)一步求得ω的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，T=2（6-2）=8=

2π

ω

，∴ω=

π

4

．
f（x）=2sin（

π

4

x+φ），把（2，2）代入得2=2sin(

π

2

+φ)，
∴cosφ=1．
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=0；
（2）φ=0時，f（x）=2sinωx，
∵f（x）為奇函數(shù)，要使f（x）=0在[-π，π]上恰有19個根，只需f（x）=0在（0，π]上恰有9個根，
∴

9

2

T≤π＜5T，即

9

2

•

2π

ω

≤π＜5•

2π

ω

，
∴9≤ω＜10；
（3）由于

π

4

-

π

6

≤

T

2

，
∴0＜ω≤12，
又-

π

2

+2kπ≤

π

6

ω，

π

4

ω≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
∴12k-3≤ω≤8k+2，k∈Z．
∴ω的取值范圍是（0，2]∪[9，10]．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象好性質(zhì)，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點問題，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．