Question

已知直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0（λ∈R），有下列四個結(jié)論：
①直線l經(jīng)過定點(diǎn)（0，-2）；
②若直線l在x軸和y軸上的截距相等，則λ=1；
③當(dāng)λ∈[1，4+3

3

]時，直線l的傾斜角θ∈[120°，135°]；
④當(dāng)λ∈（0，+∞）時，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為

8

9

．
其中正確結(jié)論的是

 

（填上你認(rèn)為正確的所有序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：恒過定點(diǎn)的直線

專題：直線與圓

分析：①．以直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0化為λ（2x+y+2）+（x+2y+2）=0，聯(lián)立

2x+y+2=0 x+2y+2=0

，解得即可判斷出．
②當(dāng)x=y=0時，解得λ=-1，滿足條件；當(dāng)λ=-2或-

1

2

時，不滿足條件，舍去．當(dāng)λ≠-1，-2，-

1

2

時，令x=0，解得y=-

2λ+2

λ+2

，令y=0，解得x=

-2λ-2

2λ+1

，由-

2λ+2

λ+2

=

-2λ-2

2λ+1

，解得λ即可判斷出．
③當(dāng)λ∈[1，4+3

3

]時，直線l的斜率k=tanθ=-

2λ+1

λ+2

=-2+

3

λ+2

，利用λ∈[1，4+3

3

]，可得tanθ∈[-

3

，-1]，解出即可；
④λ∈（0，+∞）時，由②可得S=

1

2

|-

2λ+2

λ+2

|•|-

2λ+2

2λ+1

|=|1-

1

2λ+ 2 λ +5

|，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：①．以直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0化為λ（2x+y+2）+（x+2y+2）=0，聯(lián)立

2x+y+2=0 x+2y+2=0

，解得x=y=-

2

3

．∴直線l過定點(diǎn)(-

2

3

，-

2

3

)．因此不正確．
②當(dāng)x=y=0時，解得λ=-1，滿足條件；當(dāng)λ=-2或-

1

2

時，不滿足條件，舍去．當(dāng)λ≠-1，-2，-

1

2

時，令x=0，解得y=-

2λ+2

λ+2

，令y=0，解得x=

-2λ-2

2λ+1

，由-

2λ+2

λ+2

=

-2λ-2

2λ+1

，解得λ=1．綜上可得λ±1，因此不正確．
③當(dāng)λ∈[1，4+3

3

]時，直線l的斜率k=tanθ=-

2λ+1

λ+2

=-2+

3

λ+2

，∵λ∈[1，4+3

3

]，∴

3

λ+2

∈[2-

3

，1]，∴tanθ∈[-

3

，-1]，∵θ∈[0°，180°），∴θ∈[120°，135°]，因此直線l的傾斜角θ∈[120°，135°]，正確；
④λ∈（0，+∞）時，由②可得S=

1

2

|-

2λ+2

λ+2

|•|-

2λ+2

2λ+1

|=|1-

1

2λ+ 2 λ +5

|≥

8

9

，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1時取等號，因此正確．
綜上可得：只有③④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題綜合考查了直線恒過定點(diǎn)問題、直線的截距式、傾斜角與斜率之間的關(guān)系、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．