Question

（文）已知函數(shù)f（x）是定義在R上且滿足f（x）+f（-x）=0，f（x）+f（x+

3

2

）=0，且x∈（-

3

2

，0）時(shí)，f（x）=log 

1

2

（1-x），則f（2010）+f（2011）=（　�。�

• A、1
• B、2
• C、-1
• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的周期性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）+f（-x）=0知，該函數(shù)是奇函數(shù)，所以f（0）=0，由f（x）+f（x+

3

2

）=0，則f（x）是周期為3的函數(shù)，則f（2010）=f（3×670）=f（0）=0；而f（2011）=f（3×670+1）=f（1）=-f（-1），代入已知的解析式，問(wèn)題獲解．

解答： 解：函數(shù)f（x）的定義為R，
又f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0；
因?yàn)閒（x）+f（x+

3

2

）=0，所以f（x+

3

2

）=-f（x），
∴f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），∴該函數(shù)最小正周期T=3，
∴f（2010）=f（3×670）=f（0）=0，f（2011）=f（3×670+1）=f（1）=-f（-1），
又x∈（-

3

2

，0）時(shí)，f（x）=log 

1

2

（1-x），
f（-1）=-1，
∴f（2011）=1．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：解決本題，要記住一些常見(jiàn)的體現(xiàn)函數(shù)奇偶性、周期性的結(jié)論，例如本題；同時(shí)，這道題重點(diǎn)考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想解題的能力，即利用奇偶性、周期性將所求化歸到已知上來(lái)的能力．