Question

已知正數(shù)x，y，z滿足x²+y²+z²=6．
（Ⅰ）求x+2y+z的最大值；
（Ⅱ）若不等式|a+1|-2a≥x+2y+z對滿足條件的x，y，z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題,絕對值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用柯西不等式，（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）≥（x+2y+z）²，即可得到最大值；
（Ⅱ）不等式|a+1|-2a≥x+2y+z對滿足條件的x，y，z恒成立即為|a+1|-2a≥（x+2y+z）_max=6，對a+1討論，即可解得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由于x²+y²+z²=6，
由柯西不等式，（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）≥（x+2y+z）²，
即有（x+2y+z）²≤36，
又x、y、z是正數(shù)，
則x+2y+z≤6即x+2y+z的最大值為6，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

1

=

y

2

=

z

1

，即當(dāng)x=z=1，y=2時(shí)取得最大值；
（Ⅱ）由題意及（Ⅰ）得，|a+1|-2a≥（x+2y+z）_max=6，
即：a+1≥0且a+1-2a≥6①a+1＜0，且-a-1-2a≥6，②
即a≥-1，且a≤-5；a＜-1且a≤-

7

3

．
解得：a無解或a≤-

7

3

．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

7

3

]．

點(diǎn)評：本小題主要考查柯西不等式、絕對值的意義、絕對值不等式、恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想．