Question

設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為Q，過(guò)Q點(diǎn)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線l的斜率為

2

2

，求證：

FA

•

FB

=0；
（2）設(shè)直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k_FA，k_FB，探究k_FA與k_FB的關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由Q(-

p

2

，0)，知直線l的方程為y=

2

2

(x+

p

2

)，由

y= 2 2 (x+ p 2 ) y2=2px

，得y2-2

2

py+p2=0，由此能夠證明

FA

•

FB

=0．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x+

p

2

），k≠0，由

y=k(x+ p 2 ) y2=2px

，得ky²-2px+kp²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=p²，kFA=

y1

x1- p 2

，kFB=

y2

x2- p 2

，由此能夠推導(dǎo)出k_FA與k_FB互為相反數(shù)．

解答：解：（1）∵Q(-

p

2

，0)，
∴直線l的方程為y=

2

2

(x+

p

2

)，
由

y= 2 2 (x+ p 2 ) y2=2px

，
消去x，得y2-2

2

py+p2=0，
解得A(

3+2 2

2

p，(

2

+1)p)，B（

3-2 2

2

p，(

2

-1)p），
而F（

p

2

，0），
故

FA

=((1+

2

)p，(1+

2

)p)，

FB

=((1-

2

)p，(

2

-1) p)，
∴

FA

•

FB

=-p2+p2=0，
（2）∵過(guò)Q點(diǎn)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，
∴直線l的方程為：y=k（x+

p

2

），k≠0，
由

y=k(x+ p 2 ) y2=2px

，
消去x，得ky²-2py+kp²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=p²，
kFA=

y1

x1- p 2

，kFB=

y2

x2- p 2

，
∴kFA=

p2 y2

y12 2p - p 2

=

p2 y2

( p2 y2  )2 2p - p 2

=

y2

p 2 - y22 2p

=-k_FB．
∴k_FA與k_FB互為相反數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．