Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=$\sqrt{3}$，E為線段PD上一點(diǎn)，記$\frac{PE}{PD}$=λ． 當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，二面角D-AE-C的平面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時(shí)，求直線BP與直線CE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)B（m，0，0）（m＞0），則C（m，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（m，2，0）．求出平面ACE的法向量，平面DAE的法向量，利用向量的數(shù)量積的關(guān)系，列出方程求解即可．
（2）求出$\overrightarrow{PB}=（1，0，-1），\overrightarrow{EC}=（1，\frac{4}{3}，-\frac{2}{3}）$，利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則D（0，2，0），E$（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{1}{2}）$．
設(shè)B（m，0，0）（m＞0），則C（m，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（m，2，0）．
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）為平面ACE的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}mx+2y=0\\ y+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=$（\frac{2}{m}，-1，2）$．             …（3分）
又$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，0）為平面DAE的法向量，…（4分）
由題設(shè)易知|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$|\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}|$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{2}{{\sqrt{4+5{m^2}}}}=\frac{2}{3}$，解得m=1．
即AB=1．…（6分）
（2）易得$\overrightarrow{PB}=（1，0，-1），\overrightarrow{EC}=（1，\frac{4}{3}，-\frac{2}{3}）$，
|cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{EC}$＞|=$|\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{EC}|}|$=$\frac{5\sqrt{58}}{58}$．
所以直線BP與直線CE所成角的余弦值為$\frac{{5\sqrt{58}}}{58}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．