Question

3．已知圓C的方程為（x+a）²+y²=16，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），過點(diǎn)F且斜率k=1的直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{14}$．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓心在點(diǎn)F的右側(cè)，在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得對(duì)圓C上任意的點(diǎn)G有$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求出圓心坐標(biāo)，寫出過點(diǎn)F且斜率為1的直線方程，再由已知得圓心到直線的距離，代入點(diǎn)到直線的距離公式求得a值，即可求得圓C的方程；
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，利用條件$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）圓C：（x+a）²+y²=16的圓心坐標(biāo)C（-a，0），半徑為4，
過F（-6，0），且斜率k=1的直線方程為y=1×（x+6），又直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{14}$，
∴圓心C（-a，0）到直線x-y+6=0的距離d=$\sqrt{2}$．
則d=$\frac{|-a+6|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，解得a=4或a=8．
∴圓C的方程為（x+4）²+y²=16或（x+8）²+y²=16；
（2）∵圓心在點(diǎn)F的右側(cè)，∴圓C的方程為（x+4）²+y²=16．
設(shè)P（s，t），G（x₀，y₀），則由$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$，得
$\frac{\sqrt{（{x}_{0}+6）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}{\sqrt{（{x}_{0}-s）^{2}+（{y}_{0}-t）^{2}}}=\frac{1}{2}$，整理得$3（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）$+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，①
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$+8x₀=0，②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0，
又由G（x₀，y₀）為圓C上任意一點(diǎn)可知$\left\{\begin{array}{l}{2s+24=0}\\{2t=0}\\{144-{s}^{2}-{t}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得s=-12，t=0，
∴在平面上存在一定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（-12，0），使得對(duì)圓C上任意的點(diǎn)G有$\frac{\left|GF\right|}{\left|GP\right|}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的應(yīng)用，利用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式以及兩點(diǎn)間的距離公式解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．