Question

15．已知定點D（1，0），M是圓C：（x+1）²+y²=16上任意一點，線段MD的中垂線與半徑MC交于點P，設動點P的軌跡為曲線R．
（1）求曲線R的方程；
（2）若直線l與圓O：x²+y²=1相切，與曲線R相交于A，B兩點，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求出圓C的圓心坐標、半徑，畫出圖象連接PD，結合圓的定義和垂直平分線的性質列出方程，由橢圓的定義判斷出曲線R的形狀，由橢圓的標準方程求出軌跡方程；
（2）當直線l的斜率不為零時，設直線l的方程為x=my+n，由直線和圓相切的條件：d=r，由點到直線的距離公式列出方程，化簡可得m、n的關系，聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式求出|AB|，由換元法和函數的性質求出△AOB的面積取值范圍，當直線l的斜率為零，求出直線方程和|AB|，可得△AOB的面積，綜合起來可得答案．

解答 解：（1）∵圓C方程為：（x+1）²+y²=16，∴點C（-1，0），半徑R=4，
∵線段MD的中垂線與線段CM相交于點P，連結PD，
∴|PM|=|PD|，則|CP|+|PD|=|CP|+|PM|=4＞|CD|，
∴P的軌跡R是以C，D為焦點，長軸長為4的橢圓，
則a=2，c=1，即b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{3}$，
所以點P的軌跡R的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①當直線l的斜率不為零時，設切線l的方程為x=ty+m，
∵直線l與圓O：x²+y²=1相切，∴$\frac{|m|}{\sqrt{{1}^{2}+（-t）^{2}}}=1$，
化簡得，m²=1+t²，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$消去x得，（3t²+4）y²+6tmy+3m²-12=0，
∴△=（6tm）²-4（3t²+4）（3m²-12）=48（3t²-m²+4）
=48（2t²+3）＞0，
y₁+y₂=$-\frac{6tm}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{3{t}^{2}+4}$，
∴|AB|=|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{6tm}{3{t}^{2}+4}）^{2}-4×\frac{3{m}^{2}-12}{3{t}^{2}+4}}$
=$4\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{1+{t}^{2}}•\sqrt{2{t}^{2}+3}}{3{t}^{2}+4}$，
設n=3t²+4≥4，則t²=$\frac{1}{3}（n-4）$，$0＜\frac{1}{n}≤\frac{1}{4}$，
∴|AB|=$4\sqrt{3}•\frac{\sqrt{1+\frac{1}{3}（n-4）}×\sqrt{\frac{2}{3}（n-4）+3}}{n}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}\sqrt{\frac{2{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}\sqrt{-\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{n}+2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}\sqrt{-（\frac{1}{n}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$，
∵$0＜\frac{1}{n}≤\frac{1}{4}$，∴$-（\frac{1}{n}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}∈[\frac{27}{16}，2）$，則|AB|∈[3，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$），
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×|AB|=$\frac{1}{2}$|AB|，∴△AOB的面積取值范圍是$[\frac{3}{2}，\frac{2\sqrt{6}}{3}）$，
②當直線l的斜率不為零時，則直線l的方程為y=±1，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得，x=$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$，此時|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×|AB|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
綜上可得|，∴△AOB的面積取值范圍是$[\frac{3}{2}，\frac{2\sqrt{6}}{3}]$．

點評 本題考查橢圓的定義與方程，直線與橢圓的位置關系，以及韋達定理，弦長公式，考查換元法和函數的性質，分類討論思想、轉化思想，化簡變形、計算能力．