Question

18．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足$∠AFB=\frac{π}{3}$，設線段AB的中點M在l上的投影為N，則$\frac{{|{MN}|}}{{|{AB}|}}$的最大值是1．

Answer 1

分析 設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-3ab，進而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．

解答 解：設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3}{4}$（a+b）²=$\frac{1}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{1}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|MN|}{|AB|}$≤1，
即 $\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值為1．
故答案為：1．

點評 本題給出拋物線的弦AB對焦點F所張的角為直角，求AB中點M到準線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．