Question

9．已知動點(diǎn)A，B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，且線段AB的垂直平分線始終過點(diǎn)P（-1，0）．
（1）證明線段AB的中點(diǎn)M在定直線上；
（2）求線段AB長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），當(dāng)AB與x軸垂直時，線段AB的中點(diǎn)M（-2，0），在直線y=0，當(dāng)AB與x軸不垂直時，利用平方差法推出$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}$，說明M在直線x=-2上．
（2）當(dāng)AB與x軸垂直時，$|AB|=2\sqrt{2}$，當(dāng)AB與x軸不垂直時，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式求解即可．

解答 （本題滿分15分）
解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），當(dāng)AB與x軸垂直時，線段AB的中點(diǎn)M（-2，0），在直線y=0，…（2分）
當(dāng)AB與x軸不垂直時，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2{x_0}\\{y_1}+{y_2}=2{y_0}\\ \frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{8}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{8}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1\end{array}\right.$
兩式相減，得$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{8}+\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{4}=0$，即$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}$，…（6分）
所以x₀=-2，即M在直線x=-2上．                              …（7分）
（2）當(dāng)AB與x軸垂直時，$|AB|=2\sqrt{2}$，…（9分）
$當(dāng)AB與x軸不垂直時，由（1）知{l_{AB}}：y-{y_0}=\frac{1}{y_0}（{x+2}），由\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=\frac{1}{y_0}（{x+2}）\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，
∴x₁+x₂=-4，${x_1}{x_2}=\frac{{2{y_0}^4+8}}{{{y_0}^2+2}}$，
∴$AB=\sqrt{（{1+\frac{1}{y_0}}）×（{16-4×\frac{{2{y_0}^4+8}}{{{y_0}^2+2}}}）}$
=$\sqrt{\frac{8（y_0^2+1）（2-y_0^2）}{y_0^2+2}}=2\sqrt{2}×\sqrt{-[{（{y_0^2+2}）+\frac{4}{y_0^2+2}}]+5}≤2\sqrt{2}$…（14分）
∴$|AB{|_{max}}=2\sqrt{2}$．                                                …（15分）

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，平方差法以及分類討論思想的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．