Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分圖象如圖所示，點(diǎn)P為f（x）與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為f（x）圖象的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|²．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，1]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)函數(shù)f（x）的周期是T、P（a，0），由圖象和周期性表示出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡已知的式子，求出T后由周期公式求出ω；
（2）由（1）和x的范圍求出f（x）、ωx+φ范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期是T，P（a，0），
則A（a+$\frac{T}{4}$，-1），B（a+$\frac{3T}{4}$，1），
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{T}{4}$，-1），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{3T}{4}$，1），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|²，∴$\frac{3{T}^{2}}{16}-1=\frac{{T}^{2}}{16}+1$，解得T=4，
由T=$\frac{2π}{ω}=4$得，ω=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）得，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+φ），
∵x∈[-1，1]，∴$\frac{π}{2}x+φ∈[-\frac{π}{2}+φ，\frac{π}{2}+φ]$，
又0＜φ＜π，則$-\frac{π}{2}＜-\frac{π}{2}+φ＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜\frac{π}{2}+φ＜\frac{3π}{2}$，
∴sin（$\frac{π}{2}$x+φ）∈（-1，1），
即f（x）的取值范圍是（-1，1）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象解析式的確定，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．