【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x+1
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)求曲線在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.
【答案】
(1)解:由題意得,f′(x)=3x2﹣3,由f′(x)=0得x=±1,
當(dāng)x∈(﹣1,1)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1),(1,+∞)時,f′(x)>0,
∴函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上遞減,在(﹣∞,﹣1),(1,+∞)上遞增,
當(dāng)x=﹣1時取到極大值是f(﹣1)=3,當(dāng)x=1取到極小值f(1)=﹣1.
(2)解:由f′(x)=3x2﹣3得,f′(0)=﹣3,
∵f(0)=1,∴曲線在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是y﹣1=﹣3x
即3x+y﹣1=0.
【解析】(1)由求導(dǎo)公式和法則求出f′(x),求出方程f′(x)=0的根,根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′(x)<0、f′(x)>0的解集,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f′(0):切線的斜率,由解析式求出f(0)的值,根據(jù)點(diǎn)斜式求出曲線在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程,再化為一般式方程.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)將函數(shù)的圖象做怎樣的平移變換可以得到函數(shù)的圖象;
(Ⅲ)若方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列三個類比結(jié)論.
①(ab)n=anbn與(a+b)n類比,則有(a+b)n=an+bn;
②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比,則有sin(α+β)=sinαsinβ;
③(a+b)2=a2+2ab+b2與( + )2類比,則有( + )2= 2+2 + 2;
其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:sin230°+sin290°+sin2150°= ,sin25°+sin265°+sin2125°= .通過觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一般性的命題,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù)).
(1)將兩曲線化成普通坐標(biāo)方程;
(2)求兩曲線的公共弦長及公共弦所在的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2012年在某大學(xué)自主招生考試的面試中,七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為( )
7 | 9 | ||||
8 | 4 | 4 | 6 | 4 | 7 |
9 | 3 |
A.84,4.84
B.84,1.6
C.85,1.6
D.85,4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為選拔參加“央視猜燈謎大賽”的隊(duì)員,在校內(nèi)組織猜燈謎競賽.規(guī)定:第一階段知識測試成績不小于分的學(xué)生進(jìn)入第二階段比賽.現(xiàn)有名學(xué)生參加知識測試,并將所有測試成績繪制成如下所示的頻率分布直方圖.
(1)估算這名學(xué)生測試成績的中位數(shù),并求進(jìn)入第二階段比賽的學(xué)生人數(shù);
(2)將進(jìn)入第二階段的學(xué)生分成若干隊(duì)進(jìn)行比賽.現(xiàn)甲、乙兩隊(duì)在比賽中均已獲得分,進(jìn)入最后強(qiáng)答階段.搶答規(guī)則:搶到的隊(duì)每次需猜條謎語,猜對條得分,猜錯條扣分.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),甲隊(duì)猜對每條謎語的概率均為,乙隊(duì)猜對每條謎語的概率均為,猜對第條的概率均為.若這兩條搶到答題的機(jī)會均等,您做為場外觀眾想支持這兩隊(duì)中的優(yōu)勝隊(duì),會把支持票投給哪隊(duì)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為,短軸長為
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn),若三角形OAB的面積為求直線AB的方程。
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