Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點A（0，-1）
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓C的短軸端點分別為A、B，直線AM、BM分別與橢圓C交于E、F兩點，其中點M（m，

1

2

）滿足m≠0且m≠±

3

，試證明直線EF與y軸交點的位置與m的值無關(guān)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

c a = 3 2 b=1

，解得a2=4，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由已知得直線AM•的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1，由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），由

x2 4 +y2=1  y= 3 2m x-1

，得F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

，由此能證明EF與y軸交點的位置與m無關(guān)．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點A（0，-1）
∴

c a = 3 2 b=1

，解得a2=4．
∴橢圓C：

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵A(0，1)，B(0，-1)，M(m，

1

2

)且m≠0，
∴直線AM的斜率為k1=-

1

2m

，
直線BM的斜率為k2=

3

2m

，
直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

，得（m²+1）x²-4mx=0，
解得x=0或x=

4m

m2+1

，∴E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

），…（6分）
由

x2 4 +y2=1  y= 3 2m x-1

，得（m²+9）x²-12mx=0，
解得x=0，x=

12m

m2+9

，∴F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）．…（8分）
m≠0，m²≠3，
直線EF的斜率
k=

m2-1 1+m2 - 9-m2 9+m2

4m 1+m2 - 12m 9+m2

=

(m2+3)(m2-3)

-4m(m2-3)

=-

m2+3

4m

．…（10分）
∴直線EF的方程為y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，
令x=0，得y=2，∴EF與y軸交點的位置與m無關(guān)．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與y軸交點的位置與m無關(guān)的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．