Question

8．已知函數(shù)f（x）=3x³-ax²+x-5．
（1）若函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{9}$，1），求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{9}$，1），等價為$\frac{1}{9}$，1是方程f′（x）=9x²-2ax+1=0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可求實數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，等價為f′（x）≥0恒成立，進行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=9x²-2ax+1，
若函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{9}$，1），
則$\frac{1}{9}$＜x＜1是不等式f′（x）＜0的解集，
即$\frac{1}{9}$，1是方程f′（x）=9x²-2ax+1=0的兩個根，
則$\frac{1}{9}$+1=$\frac{2a}{9}$=$\frac{10}{9}$，則2a=10，得a=5．
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
則等價為f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=9x²-2ax+1≥0恒成立，
則判別式△=4a²-36≤0，則a²≤9，
即-3≤a≤3，
即實數(shù)a的取值范圍是[-3，3]．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．