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18.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C1\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.(φ為參數(shù),0<φ<π),曲線(xiàn)C2與曲線(xiàn)C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為ρ=2(0<θ<π),過(guò)極點(diǎn)O的直線(xiàn)l分別與曲線(xiàn)C1,C2,C3相交于點(diǎn)A,B,C.
(Ⅰ)求曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求|AC|•|BC|的取值范圍.

分析 (I)利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消元得到C1的普通方程,在將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程;
(II)求出三條曲線(xiàn)的普通方程,設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx(k>0),求出A,B,C的坐標(biāo),利用三點(diǎn)的位置關(guān)系得出|AC|•|BC|=(|OC|-|OA|)•(|OA|+|OC|)=|OC|2-|OA|2.將|AC|•|BC|轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù).

解答 解:(I)曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0(0<y≤1).
∴曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ(0<θ<π).
(II)曲線(xiàn)C2的普通方程為(x+1)2+y2=1(-1≤y<0),
曲線(xiàn)C3的普通方程為x2+y2=4(0<y≤2).
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx(k>0).
則A(\frac{2}{{k}^{2}+1},\frac{2k}{{k}^{2}+1}),B(-\frac{2}{{k}^{2}+1},-\frac{2k}{{k}^{2}+1}),C(\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}},\frac{2k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}).
∵A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|,
∴|AC|•|BC|=(|OC|-|OA|)•(|OA|+|OC|)=|OC|2-|OA|2
=\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}-\frac{4+4{k}^{2}}{({k}^{2}+1)^{2}}=4-\frac{4}{{k}^{2}+1}
設(shè)f(k)=4-\frac{4}{{k}^{2}+1},則f(k)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∵f(0)=0,\underset{lim}{k→+∞}f(k)=4
∴0<f(k)<4.
即|AC|•|BC|的取值范圍時(shí)(0,4).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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