已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=x2+（2t-1）x+1-2t，
（1）求證：對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實(shí)數(shù)根；
（2）若
1
2
＜t＜
3
4
，求證：方程f（x）=0在區(qū)間(-1，  0)及(0，  
1
2
)上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
分析：（1）求證：對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實(shí)數(shù)根；只需找出一個(gè)實(shí)根即可，也可以用判別式來解．
（2）計(jì)算x=-1、0、
1
2
時(shí)的函數(shù)值即可證明要求證的問題．
解答：解：（1）由f（1）=1知f（x）=1必有實(shí)數(shù)根，
或由△=（2t-1）2+8t=（2t+1）2≥0得f（x）=1必有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)
1
2
＜t＜
3
4
時(shí)，
因?yàn)?span id="xhgtray" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(-1)=3-4t=4(
3
4
-t)＞0，
f(0)=1-2t=2(
1
2
-t)＜0，
f(
1
2
)=
1
4
+
1
2
(2t-1)+1-2t=
3
4
-t＞0，
所以方程f（x）=0在區(qū)間(-1，0)及(0，
1
2
)上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)問題，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=x2+（2t-1）x+1-2t．
（1）求證：對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實(shí)數(shù)根；
（2）若方程f（x）=0在區(qū)間（-1，2）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求t的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-2bx-1，（其中常數(shù)a、b∈R），滿足
a+b-6≤0
a＞0
b＞0
，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)的概率是（　�。�
A、
1
4
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=x2+ax-b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)b=-2時(shí)，由于對任意的x∈R，函數(shù)f（x）的值總大于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）如果方程f（x）=0有一個(gè)負(fù)根和一個(gè)不大于1的正根，求實(shí)數(shù)a，b滿足的條件，并在右圖所給坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)（a，b）所在的平面區(qū)域；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，若實(shí)數(shù)k滿足b=k（a+1）+3，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-8bx+1．
（1）設(shè)集合M={1，2，3}和N={-1，1，2，3，4，5}，從集合M中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a，從N中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域
x+y-6≤0
x＞0
y＞0
內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1
（Ⅰ）設(shè)集合P={1，2，3}，集合Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a，從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為b，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

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