Question

【題目】已知冪函數y=f（x）的圖象過點（8，m）和（9，3）．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若函數g（x）=logaf（x）（a＞0，a≠1）在區(qū)間[16，36]上的最大值比最小值大1，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意y=f（x）是冪函數，設設f（x）=xα，圖象過點（8，m）和（9，3）即可求解m的值．

（Ⅱ）函數g（x）=logaf（x）在區(qū)間[16，36]上的最大值比最小值大1，對底數進行討論，利用單調性求最值，可得實數a的值．

試題解析： 解：（Ⅰ）由題意，y=f（x）是冪函數，設f（x）=xα，圖象過點（8，m）和（9，3）

可得9α=3，所以α=，

故f（x）=．

∴m=f（8）=2．

故得m的值為2．

（Ⅱ）函數g（x）=logaf（x）即為g（x）=，

∵x在區(qū)間[16，36]上，

∴∈[4，6]，

①當0＜a＜1時，g（x）min=loga6，g（x）max=loga4，

由loga4﹣loga6=loga=1，

解得a=；

②當a＞1時，g（x）min=loga4，g（x）max=loga6，

由loga6﹣loga4=loga=1，

解得a=．

綜上可得，實數a的值為或．