Question

14．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}+tcosα\\ y=\frac{1}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=ρcosθ+2，（θ∈[0，2π））
（1）寫(xiě)出直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并求曲線C的普通方程；
（2）若$α=\frac{π}{4}$，求直線l的極坐標(biāo)方程，以及直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)$（{-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$，由ρ=ρcosθ+2得ρ²=（ρcosθ+2）²，即可求曲線C的普通方程；
（2）若$α=\frac{π}{4}$，求直線l的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立曲線ρ=ρcosθ+2，即可求出直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)$（{-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$，
由ρ=ρcosθ+2得ρ²=（ρcosθ+2）²，
得曲線C的普通方程為x²+y²=（x+2）²，化簡(jiǎn)得y²=4x+4．
（2）若$α=\frac{π}{4}$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，普通方程為y=x+2，
則直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=ρcosθ+2，
聯(lián)立曲線ρ=ρcosθ+2，得sinθ=1，取θ=$\frac{π}{2}$，得ρ=2，
所以直線l與曲線C的交點(diǎn)為（2，$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．