Question

6．（I）求證：$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：$\frac{1+a}$，$\frac{1+b}{a}$中至少有一個小于2．

Answer 1

分析 （I）直接法不易求證，可用分析法進(jìn)行證明．
（Ⅱ）利用了反證法，假設(shè)：$\frac{1+a}$，$\frac{1+b}{a}$都不小于2，則$\frac{1+a}$≥2，$\frac{1+b}{a}$≥2，推得即a+b≤2，這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)?\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$和2$\sqrt{6}$都是正數(shù)，所以為了證明$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{6}$，
只要證 （$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$）＜（2$\sqrt{6}$），
只需證：12+2$\sqrt{35}$＜24，
即證：$\sqrt{35}$＜6，
即證：35＜36，
因?yàn)?5＜36顯然成立，所以原不等式成立．-------（6分）
（Ⅱ）假設(shè)$\frac{1+a}$，$\frac{1+b}{a}$都不小于2，則$\frac{1+a}$≥2，$\frac{1+b}{a}$≥2
∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+1+a+b≥2（a+b），即a+b≤2 
這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．-------------（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了推理論證的兩種方法分析法和反證法，屬于中檔題．